导论
00：发刊词：数学到底应该怎么学？
上个世纪80年代，国内流行过一句口号：“学好数理化，走遍天下都不怕。” 因为当时的教学体系还不够完善，数理化这些基础学科比重大，而且容易培养出建设性人才，所以受到重视。随着综合教育体系的完善，这个口号也不再流行了。
数理化这些底层学科是不是牢固，决定了一个人的知识结构能搭多高，在专业上能走多远。
数学是一种抽象的知识体系，而我们人需要靠经验感知才能认识世界，这中间需要一个桥梁，这个桥梁一旦构建起来，每一个人都受益于数学。
在教学方面，我会模仿美国的数学教学方式，为你做好三件事，也是我这门数学课的三个教学特色：
- 首先，我会为你重建这座通往数学的桥梁，帮你把那些熟悉的知识点各安其位，放进知识体系里。
- 其次，在介绍这些关键数学知识点的同时，我会讲清楚它们在数学上的位置，以及和各种知识体系的相关性。这样不仅能够把各种知识打通，而且能够让你在自己的行业中超越绝大部分从业者。
- 最后一点，也是最重要的，是通过学习数学，实现思维方式的跃进。
一个学好数学的最重要的办法是，不断训练自己的思维方式。
01：导论：数学通识课的体系和学习攻略
- 模块一：数学的线索——从猜想到定理到应用
- 模块二：数的概念 从具体到抽象
- 模块三：几何学：一切源自公理和逻辑
- 模块四：代数学 用数量描绘世界
- 模块五：微积分 动态的世界观
- 模块六：概率、统计、博弈论 从确定到不确定
- 模块七：数学的基础作用 与其他学科的关系
模块一：数学的线索——从猜想到定理到应用
02：勾股定理：为什么在西方叫毕达哥拉斯定理？
勾股定义在国外都称为毕达哥拉斯定理。毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前580年-约公元前500年)是古希腊著名的数学家和知识的集大成者。
其中两个疑点
- 第一个疑点：这个定理是否在毕达哥拉斯之前就被发现了？
- 第二个疑点：古埃及和美索不达米亚为什么不去争夺这个定理的发现权呢？
引出数学与自然科学3个本质差别：
- 测量和逻辑推理的区别（测量是会有误差的，但推理不会）。
- 用事实证实和用逻辑证明的区别（证实 vs 证明）
- 科学结论相对性和数学结论绝对性的区别
数学和自然科学不同，它不相信测量，不是建立在实证基础之上，而是建立逻辑基础之上的。数学不接受大部分情况正确，但包含例外的定理。
03：数学的预见性：如何用推理走出认知盲区？
公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯（Hippasus）发现了一个惊人的事实: 若正方形的边长为1，则对角线的长度是测不出来的。这个说法和毕达哥拉斯学派的观点严重冲突，因为他们认为 万物皆可数， 一个东西那么是整数 1， 2，5， 6， 7， 8，要么是两个整数的比值 5/6， 8/9， 5/18。
希伯索斯不但发现了根号2 不可能表示成两个整数的比值”而且给出了巧妙的证明：
毕达哥拉斯定理的一个直接结果指出了无理数的存在，它把人类对于数字的认识范围从有理数扩展到了无理数。
04：数学思维：数学家如何从逻辑出发想问题？
数学思维高深精妙，但是万法归一，最重要的那个原则就是，从逻辑出发想问题，这样就可以发现很多日常中被忽略的问题，从而找出真正答案。
次贷危机例子。
做投资的人都清楚，在一开始投资基数较小的时候，能够维持指数增长，一旦基数变大，就做不到了，还不切实际地想维持，就是拆东墙补西墙的庞氏骗局了。
这个骗局的本质是什么呢？就是大家炒来炒去，都是在赌一件事，就是今后15~30年，房价会一直快速上涨。
然而，房价不可能永远快速上涨，特别是在经济本身没有上涨的前提下。
“一带一路”数学合理性
中国在过去的四十年里，实现了每年8%的指数增长，除了中国人勤劳勇敢。另外有两个数学上的原因，一是因为最初的基数小，能够持续高速增长。二是过去国内市场空白一片，供不应求，国际上其它国家人均财富，比中国高很多，相比中国过去的生产能力，购买力近乎无限。
但是40年后的今天，中国人均GDP已经达到了世界的平均水平，总的经济体量已经世界第二，占全世界的18%。那么中国还能不能维持过去的增长速度呢？从数学上讲，根本做不到。
这样增长40年，只能增长1.5倍左右，那时中国GDP大约占到全世界50%。
这时只有两个办法，一个是提高世界其它地区的购买力和经济增长，另一个是让中国经济增长降到世界的平均水平。
05：数学边界：从毕达哥拉斯定理到费马大定理
数学本身的局限性
费马大定理(或者费马最后定理).
x^n + y^n = z^n（n >2时，没有正整数解）
费马大定理证明过程非常曲折。
对于三个世纪数学家们证明费马大定理的过程,我和大家分享我的三点体会:
- 今天的数学(指纯粹数学,不是应用数学)真的很难,想在这方面取得突破性贡献不容易,
- 数学是世界上最严密的知识体系,任何的推导不能有丝毫的纰漏.
- 数学走到今天这一步,是在一个个定理的基础上一点点搭建起来的,而今天的成就,又为明天的发展奠定了基础,这样数学就获得了可叠加的进步.
纯数学这个学科除了需要一些运气之外,比拼的是人的智力,智力到哪个程度,成就就到哪个水平,这倒不是宿命论,而是说明人要根据自己的特长选择做事.
但是,很多问题最后证明找不到严格推导出来的解析解,当然这也不妨碍大家在工程上可以使用近似的数值解,解决实际问题.认清这一点,做事的方法也就改变了.
06：黄金分割：毕达哥拉斯如何连接数学和美学？
黄金分割，它的比例大约是1:0.618,也就是1.618。其美感来自几何图形的相似性。
除了在几何上层层相似,也反映了自然界的物理学特征.
或许正是因为黄金分割反映了宇宙自身的一个常数,我们对它才特别有亲切感,所以哪个建筑或者画作如果有意无意满足了这个条件,它就显得特别美.除了帕特农神庙,埃菲尔铁塔等建筑的主要尺寸的比例,也正好符合黄金分割,甚至符合等角螺旋线.
总而言之，数学和艺术,以及其他的知识体系有着千丝万缕的联系。
07：数学应用：华罗庚化繁为简的神来之笔
但是，**很多真正高水平的数学家，他们不仅能够研究复杂的理论问题，还能够为复杂的实际问题找到简单的，可重复使用的解决方法，**比如我国老一辈著名的数学家华罗庚先生。华先生是20世纪唯一一位能够称得上是世界级的中国数学家，他在数论等方面有很多贡献。
华罗庚 优选法。
08：数列和级数（一）：当下很重要，但趋势更重要
斐波拉契数列增长的速率接近于黄金分割比1.618。
09：数列和级数（二）：传销骗局的数学原理
拓展至生活中任何一件事情，不同的r(后一个元素与前一个元素的比值)会导致不同的增长结果。
10：数列和级数（三）：藏在利息和月供里的秘密
债券交易的核心就是数学上的复利增长原理。买国债时，加息意味着同样面值的债券实际价值的贬值。
